Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
По-русски говорят: болит голова, кружится голова. (Кстати, утверждают, что собственно мозг болеть не может, т. к. в мозгу нет болевых окончаний.)
При противопоставлении, выраженном союзом НО, предмету приписываются два признака без отрицания одного из них, поэтому верно слитное написание: нелегкая.
Для постановки этой запятой нет оснований.
Правильно: глава городской администрации и (устарелое) городской голова. Интересно, что должность городского головы сохраняется сегодня в Калуге.
Ударение можно проверить в окне «Искать на Грамоте» (набрав кружиться).
Да, это пары родственных слов.
Различие в склонении будет наблюдаться только в в. п. мн. ч.: вижу горячие головы (неодуш.) - вижу горячих голов (одуш.). Здесь возможны колебания в склонении.